康德：命题与数学 - EP33

既然一切知识都是感性和知性的结合，康德接著要处理的就是那些和经验相独立的科学知识，例如数学。

分析命题与综合命题

知识的基本单位是命题。命题又有两种，一种是综合命题(synthetic propositions)，一种是分析命题(analytic propositions)。综合命题即主词的意义(meaning)并不首先包含谓词的意义。例如“明仔是个好人”，“明仔”本身的意义并不包含“好人”的意义，我们是通过经验得知原来明仔是个好人，可能是由于明仔常常帮帮别人又有礼貌的关系，我们把“明仔”和“好人”这两个概念综合产生出“明仔是个好人”此命题。而当你告诉别人“明仔是个好人”，别人也可以有知识量上的增加，再回头问你“原来如此，他怎么好呢？”

另一方面，分析命题则是命题中的主词意义已经包含谓词的意义，例如“四脚生物有四只脚”“一公斤绵花跟一公斤铁一样重”等等。如果明白“一公斤绵花”和“一公斤铁”的意思，你就不用真的去量一量，你也知道此命题必定是真。同时，知道了这些命题你也不会有任何知识量上的增加。

先验与后验

在传统哲学中，“分析命题”就是“先验的”(a priori)，“综合命题”就是“后验的”(a posteriori)。因为先验命题不依赖于经验，用休谟(David Hume)的说法，分析只是概念上的关系，和经验世界无关。而传统哲学也认为“综合命题”的唯一来源就是经验，即只能通过具体的经验来获得与验证，而由于经验世界是偶然的，并不具有概念分析的必然性（例如“一公斤绵花等重一公斤铁”必然真，是分析命题，但“明仔是个好人”并非必然真，只是在当下的历史情况中它表现为真），“综合命题”没有必然性，其真假值也非恒定的。因此，传统哲学的知识论中只有两种命题，“先验分析命题”和“后验综合命题”。

但数学命题究竟是“先验分析命题”还是“后验综合命题”呢？用回康德的例子“7+5=12”，究竟是“先验分析命题”还是“后验综合命题”呢?

数学知识是绝对的、恒定的，即不依赖于经验世界，那应该是“先验分析命题”，但如果那样的话数学命题就不会增加人类的知识量。另一方面，数学知识的真假是绝对的、恒定的，也不是通过经验获得的，所以也不是“后验综合命题”。

康德提出的第三种命题类型——先验综合命题，消除了以上的问题。数学对康德而言不是分析命题，因为研究数学能确实地增长知识量，为人类知识提供新资讯。另一方面，数学命题也不是“后验综合命题”，因为数学的真假并不需要经验世界的验证。康德突破了传统哲学的局限，提出了“先验综合命题”，一方面，数学的真理不是分析出来，不是明白了主谓词的义意就能判断真假。

比如说，“三角形内角和是一百八十度”，你可以明白“三角形内角和”这个字的意义，也明白“一百八十度”的意义，但你不一定说知道两者必然的关系，你需要实际的计算，才可以综合起两者的必然关系，因此，数学命题并非分析命题，而是综合命题。

同时，“三角形内角和是一百八十度”，是恒真的（在欧氏几何中）、是不用经验就能判断真伪的命题，正如你并不需要见到每个三角形都去量度一下内角总和才能说“这三角形内角和是一百八十度”，所姒，数学命题并非后验，而是先验命题。因此，数学命题是先验综合命题。

数学研究的是什么

数学命题又不是基于经验世界、描述经验世界。但根据康德，数学作为科学知识，其描述的对象又必须和感性相关，因此只有一个可能；数学研究的就是先验的感性形式，即时空。

【读者可能会发现，以非欧几何为例子不是单纯在解释康德，而同时也对康德的理论提出疑问。康德的时代并没有非欧几何，数学对空间的理解也只局限于1-3维空间，因此与我们的三维空间感同步。但当三维以上的空间，这些“超越于”我们能直觉到的空间被计算出来后，康德的理论应如何回应？是否需要扩展我们可能的感性形式，扩展我们对感性形式的理解呢？】

之前我们已解释康德认为时空是人作为认知主体的纯粹感性形式，而此形式并非“存在于经验世界之中”，而是人的必然认知机能本身。因此，数学，例如几何学，研究的就是这个本身独立于经验世界的形式，但由于这个形式本身就是人类的感性形式，因此虽然数学研究的并非具体的感官对象，但它也没有离开感性。而又由于数学是研究时空作为纯粹形式的必然属性，而非偶然的经验事实，它又具有了如“分析命题”一样的恒真性。

由此，康德完成了它的知识论，即把一切合法的知识都规定为“在感性范围内的知性运用”，同时把一切旧形而上学的研究对象，如自由、灵魂、上帝等等“超感性对象”踢出合法知识的范围之外。