康托尔：现代数学的奠基者；面对集合论“死路”垂死挣扎的数学家
作者｜黎子元
人们或会认为，从事数理科学的人，应该与世无争，躲在自己的小乐园做著安安稳的研究，远离一切世俗的烦扰和流言蜚语。可惜的是，幻想终敌不过事实，从事数理研究的人也不能逃开别人的攻讦，甚至抹黑和中伤。在西方数理科学史上，其中一位不幸者是德国著名的数学家康托尔（Georg Cantor）。
康托尔出生在俄国的圣彼德堡，但后来举家搬到德国，并在1867年，于柏林大学获得博士学位。他创立了数学的集合论。不过这个理论在当时不单上得不到广泛的认可，还遭到一大群数学家的攻击。他为此患上了抑郁症，由于病情不断恶化，最后精神失常于精神病院去世。所以说，人言可畏，不能不慎。
格奥尔格・康托尔的名字因为当代法国哲学家阿兰・巴迪欧（Alain Badiou）的“数学本体论”而为更多哲学读者所知悉。然而在数学领域中，康托尔早已被数学家们视为现代数学的奠基者——康托尔集合论（Cantorian set theory）的建立作为数学思想史上的重要事件，划分出了一个“后康托尔”时代，并且规限了这个时代的数学思想发展，即集合论的“公理化”（axiomatization）。
作为一种“后康托尔思想”，巴迪欧于《存在与事件（1988）》规划的数学本体论同样以康托尔集合论作为其“数学条件”。康托尔对现代数学的贡献是深远的，这里我们仅针对当代哲学，特别是巴迪欧哲学，来谈谈康托尔的集合论。从康托尔的问题意识上看，借助“集合”概念，他试图解决数学学科一个长久得不到解决的难题：如何处理无限？
“康托尔乐园”
德国数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert，1862 – 1943）是康托尔的坚定拥护者。他说：“没有人能够把我们从康托尔创立的乐园中驱逐出去”。这座“康托尔乐园”就奠基在康托尔对于“超限数”（transfinite numbers，数学符号为“ℵ”）的发现与定义之上。通过对集合的研究（以一集合所有子集为元素的新集合，其基数比原集合大），他发现在超出“可数的无限”（the denumerable infinity or the ‘counted infinity’）之外还存在著更多的“无限秩序”（orders of infinity）。他于是将其定义为“超限”，即比一切可数无限都大却不必作为绝对无限的数字。
这个伟大的思想革命被巴迪欧回溯性地描述为对于一种新形式的“多”（multiplicity）的发明。“无限秩序”概念的提出意味著通过建立起一套规范化的差异秩序，数学家如今可以从积极意义上重新看待并处理“无限”。而借助“集合”概念建立起来的一致性则解决了关于无限的“非一致性”（inconsistencies）的传统难题。
朴素集合论的“死路”
然而康托尔的集合论是一种朴素的集合论（naïve set theory）。它借助直觉将“集合”定义为把各种不同的东西聚集在一起所形成的总体。在后期研究中，康托尔已经发现他的集合论包含了悖谬，例如会碰到“有没有所有集合的集合”的问题（后来由著名的“罗素悖论”表达）。面对朴素集合论的“死路”（impasse），康托尔垂死挣扎。最后，为了维系“集合”概念的一致性（这无疑是集合概念最宝贵的特性），他不得不将一切“不一致的无限”（inconsistent multiplicities）排除在无限秩序以外，并且将这些被排除掉的“绝对的无限”皆归属于神的领域。通过这个操作，他保住了集合概念的一致性，保住了“良序集合”（well-ordered set）。巴迪欧评论道：“康托尔毫不退缩的将绝对与不一致相关联。在计算为一（the count-as-one）的操作失败的地方便站立著神。”
面对朴素集合论的困境，集合论的“公理化”在20世纪（1908 – 1940）逐步开展，最终确立了成为今天数学学科基础的公理集合论（axiomatic set theory），例如 ZF 系统（Zermelo–Fraenkel set theory）；布尔巴基（Nicolas Bourbaki）以集合论为基础的数学统合计划。而就在康托尔的死胡同，巴迪欧以强力贯穿出一条通路——他的数学本体论的最重要的概念以及基本逻辑模型就是对康托尔的“不可能”的逾越。正是在这个意义上，我们说康托尔的集合论是巴迪欧本体论的条件。
晚年的数学家
1911年，康托尔作为著名外国学者受邀参加苏格兰圣安德鲁斯大学（University of St. Andrews）五百周年庆典。康托尔希望在庆典上见到罗素（Bertrand Russell）——罗素在新书《数学原则》（Principia Mathematica）中多处引用了康托尔的学说——然而他的希望落空了。一年后，圣安德鲁斯大学授予康托尔荣誉博士的学位，可是，疾病缠身的他无法亲自到场参加学位授予仪式。
康托尔于1913年退休，在一战期间饱受贫困和营养不良的折磨。由于战争，公众为他庆祝70岁生日的活动也不得不取消。他人生的最后日子是在疗养院度过的。在这里，于1918年1月6日，他选择以自杀的方式于精神病院告别世界。
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