【林郑当选．博评】阿罗悖论：有三个候选人，选举就不可能公平

特首选举刚结束，为什么这不是一场公平的选举？假设在森林里，所有动物一起投票，以决定狮子或老虎之中的一名将会成为森林之皇。因为只有两名候选动物，总有一只能够取最少一半（majority）的票数，那动物就会为皇。后来，猩猩觉得好玩，加入了森林之皇竞选游戏……

假设猩猩参选后，所有动物的投票结果如下：

猩猩：35%狮子：33%老虎：32%

领先者当选模式

到底谁会成为森林之皇呢？猩猩取得最多票数，如果采用First past the post （笔者译：领先者当选）模式，那么猩猩就是胜出，成为森林之皇。可是，三名候选动物的竞选与两名候选动物的竞选有一个最大的分别，就是猩猩没有取得最少一半（majority）的票数。这正好反映First past the post 投票的坏处，如果候选人数目一多，例如有十名，假设每名候选人的得票率为约10%左右，那么很可能当选者得票不过半数，即不支持他的才是大多数。

这个时候，猫头鹰建议以投票时，大家写下心目中候选动物的次序，重新投票后，结果如下：

有19人选：猩猩>老虎>狮子有16人选：猩猩>狮子>老虎有32人选：老虎>狮子>猩猩有33人选：狮子>老虎>猩猩

香港特首的竞选模式

如果森林动物参考香港特首的竞选模式，牠们会先消去最低得票者老虎，然后把三只候选动物变成两只，务求让其中一只取得超过一半的票数。那么，支持猩猩的，有35只；支持狮子的，有65只，故狮子得胜。

两个两个互相较量

如果把三只动物分组，两个两个互相较量，那结果结下：

猩猩：狮子 = （19+16）：（32+33） = 35: 65老虎：狮子 = （19+32）：（16+33） = 51: 49猩猩：老虎 = （19+16）：（32+33） = 35: 65

明显地，大家喜欢狮子或老虎比猩猩多，如果比较狮子和老虎，老虎更优胜，这个模式下，老虎胜出。

暂时总结一下，三种选举模式下的赛果：

领先者当选模式：猩猩

香港特首的竞选模式：狮子

两个两个互相较量：老虎

妈呀，我好乱呀，到底边个赢呀？这个例子想带出的是，根据1972年诺贝尔经济学奖得主Kenneth Arrow的Arrow's impossibility theorem（不可能定理）或Arrow's Paradox（阿罗悖论），以及他所提出的公平条件，当候选人最少为三时，世上是没有一个选举，可以根据每一个个体所选择的排序，而投票成一个集体决定。他所提出的公平条件包括：

一，如果森林内每只动物都喜欢猩猩多过狮子，那么选举结果也会是猩猩胜过狮子。二，就算有动物改变了选择，但只要所有动物仍然喜欢猩猩多过狮子，那么选举结果也会是猩猩胜过狮子。三，不存在可主宰选举结果的独裁者。

不可能定理最残忍的推论，是如果想有个“公平”选举可以满足条件一与二，那就一定有独裁者。所以特首选举不公平，是一件必然会发生的事。

（文章纯属作者意见，不代表香港01立场。）